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MIT 18.06 第 11 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 验证了 3 × 3 矩阵空间里对称子空间与上三角子空间满足 6 + 6 = 3 + 9，又在 60 个人的圆环上加 6 条随机捷径，最远距离从 30 步降到 17 步。

MIT 18.06 第 10 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 对 Strang 的 3 × 4 矩阵分别用消元和 SVD 求出四个子空间的基，维数是 2、2、2、1，再用 5 个随机造的不同形状矩阵验证 r、n - r、r、m - r 全部成立。

MIT 18.06 第 9 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 把线性无关、张成、基和维数都翻译成“秩”和“零空间”来检验，固定种子的随机 100 × 100 矩阵试了 1000 次全部满秩，而人为造的、只差 1e-12 的相关向量却被判成了秩 3。

MIT 18.06 第 8 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 手写 rref，解出 3 × 4 方程组的完全解 x_p + x_n，再用 1000 个随机右端项检验四种秩的情形，秩小于行数的两种情形有解的比例都是 0.000。

MIT 18.06 第 7 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 手写了带容差的 rref，把 Strang 的 3 × 4 矩阵化成 R 并读出特解矩阵 N，A @ N 为 0；容差设成 0 时，一个按构造秩为 3 的 6 × 8 矩阵被判成秩 6，零空间只剩 2 维，而不是 5 维。

MIT 18.06 第 6 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 对 Strang 的 4 × 3 矩阵用最小二乘残差判断右端项在不在列空间，再用 SVD 求零空间，1000 个随机右端项里没有一个落在列空间里，而 Ax = b 的全部解是一条到原点距离 0.8165 的直线。

MIT 18.06 第 5 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 数出 4 × 4 置换矩阵共 24 个、手写了带换行的 PA = LU，又在 1e-20 的小主元上看到不换行的解误差是 1.0，换行之后降到 0.0。

MIT 18.06 第 4 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 手写了不换行的 LU 分解，数出 n = 160 时共 1365280 次乘除，是 n³/3 的 1.000 倍，而每多一个右端项只多 n² 次。

MIT 18.06 第 3 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 把矩阵乘法的五种算法逐一对照 A @ B，再手写 Gauss-Jordan 求逆，把奇异矩阵的 6 改成 6 + 1e-8 之后，逆里最大的元素涨到了 6e+08。

MIT 18.06 第 2 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 手写消元，把每一步写成初等矩阵并验证 E32 @ E21 @ A 恰好等于 U；在 10000 个随机整数 3 × 3 矩阵里，19.30% 需要换行，6.91% 彻底失败。