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MIT 18.06 第 21 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 算了投影、置换、旋转和三角矩阵的特征值，90 度旋转矩阵的特征值是 ±i，而 [[3, 1], [0, 3]] 的特征向量矩阵条件数高达 3.00e+15。

MIT 18.06 第 20 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 验证了余子式求逆、Cramer 法则和 |det| 等于面积与体积，并数了一下：解 10 阶方程组，Cramer 法则（用余子式算行列式）要 68588300 次乘法，消元大约 333 次，差了 205971 倍。

MIT 18.06 第 19 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 以 itertools.permutations 实现行列式的大公式、余子式展开和三对角矩阵的递推，6 × 6 随机矩阵的 720 项之和与 np.linalg.det 都是 -7.439860，61 阶三对角矩阵的行列式则是 1。

MIT 18.06 第 18 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 逐条验证了 Strang 的十条行列式性质，又手写消元求主元乘积，算 100 × 100 随机矩阵的行列式，和 np.linalg.det 的相对差只有 9.99e-13。

MIT 18.06 第 17 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 手写了经典与修正两种 Gram-Schmidt，在 8 × 8 的 Hilbert 矩阵上，经典版的 ‖QᵀQ - I‖ 是 1.4，修正版是 3.6e-07，np.linalg.qr 是 1.5e-15。

MIT 18.06 第 16 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 把 (1, 1)、(2, 2)、(3, 2) 三个点的直线拟合解了一遍，正规方程给出 C = 2/3、D = 1/2，误差向量 (-1/6, 1/3, -1/6) 的平方长度只有 0.1667，而在 t = 0 处多加一个离群点，斜率就从 0.5 翻成 -1.1。

MIT 18.06 第 15 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 把 b 投影到一条直线和一个二维列空间上，验证 P² = P 与 Pᵀ = P，再在平面里随机撒 10 万个点，离 b 最近的也有 0.4085，比投影点的 0.4082 远。

MIT 18.06 第 14 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 在一个随机的 4 × 6、秩 3 的矩阵上检查行空间与零空间正交，两组基的点积最大只有 1.0e-16，又在 1000 个随机矩阵上验证了 AᵀA 与 A 的秩始终相同。

MIT 18.06 第 13 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 把 Strang 在课上带着做的旧测验题逐题跑了一遍，其中 10 × 6 的矩阵 C 秩为 6，所以 C 转置的零空间维数是 10 - 6 = 4。

MIT 18.06 第 12 讲的配套笔记：我用 Python 3.13 和 NumPy 2.4 搭了 Strang 的 4 节点 5 条边的关联矩阵，验证零空间是常数电势、左零空间是两个回路，又在 30 × 30 的网格上数出 841 个回路，节点数减边数加回路数恰好是 1。